Факультет математики, фізики і комп'ютерних наук
Permanent URI for this communityhttps://library.vspu.net/items/44f877e6-8cc7-4edf-aef2-c07df95ea018
Browse
18 results
Search Results
Item Про періодичні біжучі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона з нелокальною взаємодією(2024) Бак, Сергій; Bak, Sergiy; Ковтонюк, Галина; Kovtonyuk, GalynaОдержано результат про існування надзвукових періодичних біжучих хвиль в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона з нелокальною взаємодією. Для цього використано варіаційну техніку з використанням теореми про гірський перевал. The result of the existence of subsonic periodic traveling waves in the discrete Klein-Gordon type equations with nonlocal interaction is obtained. For this purpose, a variational technique using the mountain pass theorem was used.Item Ланцюг Тоди і його застосування в оптиці та фотоніці(2024) Кошелєв, Андрій; Бак, Сергій; Ковтонюк, Галина; Bak, Sergiy; Kovtonyuk, GalynaСтаття присвячена ланцюгу Тоди, який є важливою нелінійною моделлю, яка використовується для вивчення інтегровних систем. Він описує динаміку взаємодії частинок, що рухаються вздовж одновимірного ланцюга та взаємодіють через експоненціальний потенціал. Ланцюг Тоди є класичним прикладом цілком інтегровної системи з точно розв'язуваними рівняннями руху, що робить його корисним для дослідження солітонів та поведінки динамічних систем. Модель знаходить застосування в різних галузях науки, включаючи оптику, фотоніку, фізику плазми, та термодинаміку. Вона допомагає моделювати поведінку солітонів у волоконно-оптичних комунікаціях, нелінійних оптичних матеріалах та інших фізичних системах, а також досліджувати квантові ефекти в оптичних системах. The article is devoted to the Toda chain, which is an important nonlinear model used to study integrated systems. It describes the dynamics of the interaction of particles moving along a one-dimensional chain and interacting through an exponential potential. The Toda chain is a classic example of a fully integrable system with exactly solvable equations of motion, which makes it useful for studying solitons and the behavior of dynamical systems. The model finds application in various fields of science, including optics, photonics, plasma physics, and thermodynamics. It helps to model the behavior of solitons in fiber-optic communications, nonlinear optical materials, and other physical systems, as well as to investigate quantum effects in optical systems.Item Існуванні квазіперіодичних біжучих хвиль в дискретних нелінійних рівняннях типу Шредінгера(2024) Бак, Сергій; Bak, Sergiy; Ковтонюк, Галина; Kovtonyuk, Galyna; Шацовний, СергійУ статті вивчаються дискретні нелінійні рівняння типу Шредінгера з нелокальною взаємодією. Встановлено умови існування квазіперіодичних біжучих хвиль в таких рівняннях. Для цього використано метод критичних точок.The article studies discrete nonlinear Schrödinger-type equations with nonlocal interactions. Conditions for the existence of quasi periodic traveling waves in such equations are established. The critical points method is used for this purpose.Item ON EXISTENCE OF SOLITARY TRAVELING WAVES IN FERMI-PASTA-ULAM TYPE SYSTEMS ON 2D-LATTICE(2023) Bak, Sergiy; Kovtonyuk, GalynaWe consider the Fermi-Pasta-Ulam type systems with saturable nonlinearities that describes an infinite systems of particles on a two dimensional lattice. The main result concerns the existence of solitary traveling waves solutions with vanishing relative displacement profiles. By means of critical point theory, we obtain sufficient conditions for the existence of such solutions.Item ІСНУВАННЯ ЛОКАЛІЗОВАНИХ СТОЯЧИХ ХВИЛЬ В ДИСКРЕТНОМУ РІВНЯННІ КЛЕЙНА-ҐОРДОНА ІЗ НАСИЧУВАНИМИ НЕЛІНІЙНОСТЯМИ(2022) Бак, Сергій; Галина, Ковтонюк; Майданюк, Світлана; Bak, Sergiy; Kovtonyuk, GalynaВ статті вивчається дискретне нелінійне рівняння Клейна-Ґордона, яке описує динаміку нескінченного ланцюга лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. За відповідних умов в таких рівняннях існують розв’язки у вигляді стоячих хвиль. За допомогою методу періодичних апроксимацій і варіаційної техніки технік встановлено умови існування локалізованих стоячих хвиль в таких рівняннях.Item Implementation of Cycle-Gan model for image transformation into image with Anime style(2021) Tkachenko, Svitlana; Bak, SergiyWe review the principle of CycleGAN modeling and describe the application of CycleGAN for the problem of images transformation into images with anime style.Item Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями(2021) Бак, Сергій; Bak, SergiyДана стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченного ланцюга лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Ці рівняння представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Такі системи є нескінченновимірними гамільтоновими системами. Розглядаються рівняння типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями непарного степеня. При підстановці анзаца у вигляді стоячої хвилі одержується система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Далі розглядається система з більш загальним оператором $L$ лінійної взаємодії осциляторів, який є обмеженим і самоспряженим у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей $l^2$. Розглядається задача про існування періодичних і локалізованих (збігаються до нуля на нескінченності) розв’язків для таких систем. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та належність частоти стоячої хвилі спектральному проміжку оператора $L$. Якщо правий кінець спектрального проміжка скінченний, то система має нетривіальні розв’язки. У цій статті показано, що періодичні і локалізовані розв’язки цієї системи можна побудувати як критичні точки відповідних функціоналів $J_k$ та $J$. Існування періодичних розв’язків встановлено за допомогою теореми про зачеплення. Зокрема, показано, що функціонал $J_k$ задовольняє так звану умову Пале-Смейла та геометрію зачеплення, а отже, має нетривіальні критичні точки. Останні і є періодичними розв’язками системи. У випадку локалізованих розв’язків використати теорему про зачеплення не можна, оскільки для функціоналу $J$ не виконується умова Пале-Смейла. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу $J$ будуються за допомогою граничного переходу при $k\to\infty$ в критичних точках функціоналу $J_k$. В силу відомих властивостей дискретного оператора Лапласа одержано наслідок, в якому встановлено умови існування локалізованих розв’язків для вихідної системи. This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of an infinite chain of linearly coupled nonlinear oscillators. These equations represent a countable system of ordinary differential equations. Such systems are infinite-dimensional Hamiltonian systems. Equations of the Klein-Gordon type with power nonlinearities of odd degree are considered. When substituting the ansatz in the form of a standing wave, a system of algebraic equations for the amplitude of the standing wave is obtained. Further, we consider a system with a more general operator $L$ of linear interaction of oscillators, which is bounded and self-adjoint in the Hilbert space of real two-sided sequences $l^2$. The problem of the existence of periodic and localized (converging to zero at infinity) solutions for such systems is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction operator of the oscillators and the belonging of the standing wave frequency to the spectral interval of the operator $L$. If the right end of the spectral interval is finite, then the system has nontrivial solutions. This article shows that periodic and localized solutions of this system can be constructed as critical points of the corresponding functionals $J_k$ and $J$. The existence of periodic solutions was established using the linking theorem. In particular, it is shown that the functional $J_k$ satisfies the so-called Palais-Smale condition and the linking geometry, and therefore has nontrivial critical points, which are the periodic solutions of the system. In the case of localized solutions, the linking theorem cannot be used, since the Palais-Smale condition does not hold for the functional $J$. Therefore, in this case, the method of periodic approximations is used, that is, the critical points of the functional $J$ are constructed using the passage to the limit as $k\to\infty$ at the critical points of the functional $J_k$. By virtue of the well-known properties of the discrete Laplace operator, a corollary is obtained in which conditions for the existence of localized solutions for the original system are established. \keywords {discrete Klein-Gordon type equations, standing waves, power nonlinearities, critical points, linking theorem, periodic approximations.Item On well-posedness of the Cauchy problem for system of oscillators in weighted sequence spaces(2021) Bak, Sergiy; Kovtonyuk, GalynaWe consider an infinite system of ordinary differential equations that describes the dynamics of an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two dimensional integer-valued lattice. We obtain the results on existence of a unique global solutions of the Cauchy problem in a wide class of weighted sequence spaces.Item III International Scientific and Practical Internet Conference "Mathematics and Informatics in Higher Education: Challenges of Modernity", dedicated to the memory of Professors Pankov O. A. and Trokhymenko V. S. (Vinnytsia, May 20-21, 2021) [Electronic network scientific publication]: book of abstracts(2021) Ковтонюк, Мар'яна Михайлівна; Kovtonyuk, Mariana; Бак, Сергій Миколайович; Bak, SergiyThe book contains abstracts of III International Scientific and Practical Internet Conference "Mathematics and Informatics in Higher Education: Challenges of Modernity" (dedicated to the memory of Professors Pankov O. A. and Trokhymenko V. S.), which took place on May 20-21, 2021 on the basis of the Faculty of Mathematics, Physics and Computer Science of Vinnytsia Mykhailo Kotsiubynskyi State Pedagogical University. The abstracts in the book are grouped by sections, in accordance with the main directions of the conference: Section 1. Modern problems of mathematics; Section 2. Modern problems of computer science. Mathematical and computer modeling; Section 3. Creation of educational environment in mathematics and computer science in higher education. Monitoring of the quality of education: tools and technologies; Section 4. Modern computer technologies in teaching mathematics and computer science. Methods of teaching mathematics and computer science in secondary education. The publication is addressed to researchers, lecturers, teachers, graduate students, undergraduates, as well as everyone who is interested in modern problems of science and education.Item Існування періодичних розв’язків в системі нелінійних осциляторів зі степеневими потенціалами на двовимірній ґратці(2020) Bak, Sergiy; Бак, Сергій МиколайовичThis article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of real two-way sequences. The problem of existence of periodic solutions for such systems with power potential is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction of oscillators and the positivity of this operator. This article shows that periodic solutions can be constructed using the constained minimization method. For this, a functional is constructed whose critical points are the desired periodic solutions. This functional is represented as the difference between the quadratic and non-quadratic parts. Next, we consider the problem of constrained minimization of the quadratic part of of the functional under the condition that the non-quadratic part is constant. Using the Lagrange multiplier method, it was found that the periodic solutions of this system linearly depend on the solutions of the considered problem of constrained minimization, in particular, the coefficient of linear dependence is expressed in terms of the Lagrange multiplier. Using a discrete version of the concentration compactness principle, it is proved that the problem of constrained minimization under consideration has a solution, and therefore, there are periodic solutions of the original system. In particular, it is shown that for an arbitrary minimizing sequence of the quadratic part of the constructed functional, the possibility of "concentration" of the concentration compactness principle is satisfies, which allowed to prove the boundedness of this sequence. Moreover, it is proved that for sufficiently large values of periods these solutions are not constant. Дана стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує динаміку нескінченної системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Рівняння руху цієї системи представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Останню систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача про існування періодичних розв’язків для таких систем зі степеневими потенціалами. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та додатність цього оператора. У цій статті показано, що періодичні розв’язки можна побудувати за допомогою методу умовної мінімізації. Для цього побудовано функціонал, критичні точки якого є шуканими періодичними розв’язками. Цей функціонал представлено у вигляді різниці квадратичної і не квадратичної частин. Далі розглянуто задачу умовної мінімізації квадратичної частини функціоналу за умови, що не квадратична частина стала. За допомогою методу множників Лагранжа встановлено, що періодичні розв’язки даної системи лінійно залежать від розв’язків розглянутої задачі умовної мінімізації, зокрема, коефіцієнт лінійної залежності виражається через множник Лагранжа. За допомогою дискретного варіанту принципу концентрованої компактності доведено, що розглянута задача умовної мінімізації має розв’язок, а отже, існують періодичні розв’язки вихідної системи. Зокрема, показано, що для довільної мінімізуючої послідовності квадратичної частини побудованого функціоналу виконується можливість «концентрація» принципу концентрованої компактності, що дозволило довести обмеженість цієї послідовності. Більше того, доведено, що для достатньо великих значень періодів ці розв’язки не є сталими.