Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями

Abstract

Дана стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченного ланцюга лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Ці рівняння представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Такі системи є нескінченновимірними гамільтоновими системами. Розглядаються рівняння типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями непарного степеня. При підстановці анзаца у вигляді стоячої хвилі одержується система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Далі розглядається система з більш загальним оператором $L$ лінійної взаємодії осциляторів, який є обмеженим і самоспряженим у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей $l^2$. Розглядається задача про існування періодичних і локалізованих (збігаються до нуля на нескінченності) розв’язків для таких систем. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та належність частоти стоячої хвилі спектральному проміжку оператора $L$. Якщо правий кінець спектрального проміжка скінченний, то система має нетривіальні розв’язки. У цій статті показано, що періодичні і локалізовані розв’язки цієї системи можна побудувати як критичні точки відповідних функціоналів $J_k$ та $J$. Існування періодичних розв’язків встановлено за допомогою теореми про зачеплення. Зокрема, показано, що функціонал $J_k$ задовольняє так звану умову Пале-Смейла та геометрію зачеплення, а отже, має нетривіальні критичні точки. Останні і є періодичними розв’язками системи. У випадку локалізованих розв’язків використати теорему про зачеплення не можна, оскільки для функціоналу $J$ не виконується умова Пале-Смейла. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу $J$ будуються за допомогою граничного переходу при $k\to\infty$ в критичних точках функціоналу $J_k$. В силу відомих властивостей дискретного оператора Лапласа одержано наслідок, в якому встановлено умови існування локалізованих розв’язків для вихідної системи.

This article is devoted to the study of discrete Klein-Gordon type equations that describe the dynamics of an infinite chain of linearly coupled nonlinear oscillators. These equations represent a countable system of ordinary differential equations. Such systems are infinite-dimensional Hamiltonian systems. Equations of the Klein-Gordon type with power nonlinearities of odd degree are considered. When substituting the ansatz in the form of a standing wave, a system of algebraic equations for the amplitude of the standing wave is obtained. Further, we consider a system with a more general operator $L$ of linear interaction of oscillators, which is bounded and self-adjoint in the Hilbert space of real two-sided sequences $l^2$. The problem of the existence of periodic and localized (converging to zero at infinity) solutions for such systems is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction operator of the oscillators and the belonging of the standing wave frequency to the spectral interval of the operator $L$. If the right end of the spectral interval is finite, then the system has nontrivial solutions. This article shows that periodic and localized solutions of this system can be constructed as critical points of the corresponding functionals $J_k$ and $J$. The existence of periodic solutions was established using the linking theorem. In particular, it is shown that the functional $J_k$ satisfies the so-called Palais-Smale condition and the linking geometry, and therefore has nontrivial critical points, which are the periodic solutions of the system. In the case of localized solutions, the linking theorem cannot be used, since the Palais-Smale condition does not hold for the functional $J$. Therefore, in this case, the method of periodic approximations is used, that is, the critical points of the functional $J$ are constructed using the passage to the limit as $k\to\infty$ at the critical points of the functional $J_k$. By virtue of the well-known properties of the discrete Laplace operator, a corollary is obtained in which conditions for the existence of localized solutions for the original system are established. \keywords {discrete Klein-Gordon type equations, standing waves, power nonlinearities, critical points, linking theorem, periodic approximations.