Існування періодичних розв’язків в системі нелінійних осциляторів зі степеневими потенціалами на двовимірній ґратці

Abstract

This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of real two-way sequences. The problem of existence of periodic solutions for such systems with power potential is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction of oscillators and the positivity of this operator. This article shows that periodic solutions can be constructed using the constained minimization method. For this, a functional is constructed whose critical points are the desired periodic solutions. This functional is represented as the difference between the quadratic and non-quadratic parts. Next, we consider the problem of constrained minimization of the quadratic part of of the functional under the condition that the non-quadratic part is constant. Using the Lagrange multiplier method, it was found that the periodic solutions of this system linearly depend on the solutions of the considered problem of constrained minimization, in particular, the coefficient of linear dependence is expressed in terms of the Lagrange multiplier. Using a discrete version of the concentration compactness principle, it is proved that the problem of constrained minimization under consideration has a solution, and therefore, there are periodic solutions of the original system. In particular, it is shown that for an arbitrary minimizing sequence of the quadratic part of the constructed functional, the possibility of "concentration" of the concentration compactness principle is satisfies, which allowed to prove the boundedness of this sequence. Moreover, it is proved that for sufficiently large values of periods these solutions are not constant.

Дана стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує динаміку нескінченної системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Рівняння руху цієї системи представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Останню систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача про існування періодичних розв’язків для таких систем зі степеневими потенціалами. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та додатність цього оператора. У цій статті показано, що періодичні розв’язки можна побудувати за допомогою методу умовної мінімізації. Для цього побудовано функціонал, критичні точки якого є шуканими періодичними розв’язками. Цей функціонал представлено у вигляді різниці квадратичної і не квадратичної частин. Далі розглянуто задачу умовної мінімізації квадратичної частини функціоналу за умови, що не квадратична частина стала. За допомогою методу множників Лагранжа встановлено, що періодичні розв’язки даної системи лінійно залежать від розв’язків розглянутої задачі умовної мінімізації, зокрема, коефіцієнт лінійної залежності виражається через множник Лагранжа. За допомогою дискретного варіанту принципу концентрованої компактності доведено, що розглянута задача умовної мінімізації має розв’язок, а отже, існують періодичні розв’язки вихідної системи. Зокрема, показано, що для довільної мінімізуючої послідовності квадратичної частини побудованого функціоналу виконується можливість «концентрація» принципу концентрованої компактності, що дозволило довести обмеженість цієї послідовності. Більше того, доведено, що для достатньо великих значень періодів ці розв’язки не є сталими.