Кафедра математики та інформатики
Permanent URI for this collectionhttps://library.vspu.net/items/860ee2c1-610e-4cd9-babf-0fe65f1b1ab2
Browse
11 results
Search Results
Item Алгебра та початки аналізу. 11 клас(2006) Ковтонюк, Мар'яна Михайлівна; Ясінський, В'ячеслав Андрійович; Бак, Сергій МиколайовичПропонований посібник складається з 15 розділів. Задачі кожного розділу поділяються за типами та за методами розв'язування. Подаються приклади з детальним поясненням. Завдання для самостійного розв'язування поділяються за трьома рівнями складності. Наведено приклади олімпіадних задачі з повним розв'язанням. Для вчителів загальоосвітніх шкіл, класів з поглибленим вивченням математики, учнів.Item III International Scientific and Practical Internet Conference "Mathematics and Informatics in Higher Education: Challenges of Modernity", dedicated to the memory of Professors Pankov O. A. and Trokhymenko V. S. (Vinnytsia, May 20-21, 2021) [Electronic network scientific publication]: book of abstracts(2021) Ковтонюк, Мар'яна Михайлівна; Kovtonyuk, Mariana; Бак, Сергій Миколайович; Bak, SergiyThe book contains abstracts of III International Scientific and Practical Internet Conference "Mathematics and Informatics in Higher Education: Challenges of Modernity" (dedicated to the memory of Professors Pankov O. A. and Trokhymenko V. S.), which took place on May 20-21, 2021 on the basis of the Faculty of Mathematics, Physics and Computer Science of Vinnytsia Mykhailo Kotsiubynskyi State Pedagogical University. The abstracts in the book are grouped by sections, in accordance with the main directions of the conference: Section 1. Modern problems of mathematics; Section 2. Modern problems of computer science. Mathematical and computer modeling; Section 3. Creation of educational environment in mathematics and computer science in higher education. Monitoring of the quality of education: tools and technologies; Section 4. Modern computer technologies in teaching mathematics and computer science. Methods of teaching mathematics and computer science in secondary education. The publication is addressed to researchers, lecturers, teachers, graduate students, undergraduates, as well as everyone who is interested in modern problems of science and education.Item Існування періодичних розв’язків в системі нелінійних осциляторів зі степеневими потенціалами на двовимірній ґратці(2020) Bak, Sergiy; Бак, Сергій МиколайовичThis article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of real two-way sequences. The problem of existence of periodic solutions for such systems with power potential is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction of oscillators and the positivity of this operator. This article shows that periodic solutions can be constructed using the constained minimization method. For this, a functional is constructed whose critical points are the desired periodic solutions. This functional is represented as the difference between the quadratic and non-quadratic parts. Next, we consider the problem of constrained minimization of the quadratic part of of the functional under the condition that the non-quadratic part is constant. Using the Lagrange multiplier method, it was found that the periodic solutions of this system linearly depend on the solutions of the considered problem of constrained minimization, in particular, the coefficient of linear dependence is expressed in terms of the Lagrange multiplier. Using a discrete version of the concentration compactness principle, it is proved that the problem of constrained minimization under consideration has a solution, and therefore, there are periodic solutions of the original system. In particular, it is shown that for an arbitrary minimizing sequence of the quadratic part of the constructed functional, the possibility of "concentration" of the concentration compactness principle is satisfies, which allowed to prove the boundedness of this sequence. Moreover, it is proved that for sufficiently large values of periods these solutions are not constant. Дана стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує динаміку нескінченної системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Рівняння руху цієї системи представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Останню систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача про існування періодичних розв’язків для таких систем зі степеневими потенціалами. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та додатність цього оператора. У цій статті показано, що періодичні розв’язки можна побудувати за допомогою методу умовної мінімізації. Для цього побудовано функціонал, критичні точки якого є шуканими періодичними розв’язками. Цей функціонал представлено у вигляді різниці квадратичної і не квадратичної частин. Далі розглянуто задачу умовної мінімізації квадратичної частини функціоналу за умови, що не квадратична частина стала. За допомогою методу множників Лагранжа встановлено, що періодичні розв’язки даної системи лінійно залежать від розв’язків розглянутої задачі умовної мінімізації, зокрема, коефіцієнт лінійної залежності виражається через множник Лагранжа. За допомогою дискретного варіанту принципу концентрованої компактності доведено, що розглянута задача умовної мінімізації має розв’язок, а отже, існують періодичні розв’язки вихідної системи. Зокрема, показано, що для довільної мінімізуючої послідовності квадратичної частини побудованого функціоналу виконується можливість «концентрація» принципу концентрованої компактності, що дозволило довести обмеженість цієї послідовності. Більше того, доведено, що для достатньо великих значень періодів ці розв’язки не є сталими.Item Про обмеженість глобального розв’язку задачі Коші для нескінченної системи нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці(2019) Бак, Сергій Миколайович; Bak, Sergiy MykolaiovychДана стаття присвячена вивченню нескінченновимірної гамільтонової системи, яка описує нескінченну систему лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці. Ця система представляє собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Цю систему зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння у гільбертовому просторі двохсторонніх послідовностей. Розглядається задача Коші для таких рівнянь у даному просторі. Раніше було доведено, що ця задача за певних умов має єдиний локальний і глобальний розв’язки. Локальна розв’язність випливає зі стандартних результатів для диференціальних рівнянь у банахових просторах. Основними умовами тут є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та неперервність за Коші нелінійності (яка визначається як похідна зовнішнього потенціалу системи осциляторів). Для встановлення глобальної розв’язності було використано подання даної системи у гамільтоновому вигляді. Нагадаємо, що з фізичної точки зору гамільтоніан представляє собою повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії. Основними умовами, крім згаданих вище, тут є недодатність оператора лінійної взаємодії між осциляторами та напівобмеженість знизу їх потенціалів. Однак, залишилось відкритим питання, чи є глобальний розв’язок обмеженим. У цій статті встановлено, що за тих самих умов існування глобального розв’язку, якщо оператор лінійної взаємодії недодатний, а зовнішній потенціал на нескінченності є нескінченно великим (рівномірно за обома просторовими змінними), або ж оператор лінійної взаємодії є від’ємно визначеним, то цей розв’язок обмежений для будь-яких початкових даних з даного простору послідовностей. Для доведення було використано той факт, що гамільтоніан системи на початкових даних зберігає стале значення. This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of two-way sequences. The Cauchy problem for such equations in this space is considered. Previously, it has been proven that under certain circumstances this problem has a unique local and global solution. Local resolution follows from the standard results for differential equations in Banach spaces. The basic conditions here are the spatial periodicity of coefficients of the operator of linear interaction of oscillators and the Cauchy continuity of nonlinearity (which is defined as a derivative of the on-site potential of the oscillator system). This system, in Hamilton view, was used to establish global resolution. Recall that from a physical point of view the Hamiltonian represents the total energy of the system, i.e. the sum of kinetic and potential energy. The basic conditions, in addition to those mentioned above, are the non-positivity of the operator of linearly interact between the oscillators and the half-boundary below their potentials. However, the question remains whether the global solution is bounded. In this article it is established that under the same conditions of existence of a global solution, if the linear interaction operator is non-positive and the on-site potential at infinity is infinitely large (uniformly over both spatial variables), or the linear interaction operator is negatively defined, then this solution is bounded to any initial data from a given sequence space. To prove this, the fact that the Hamiltonian of the system retains a constant value on the initial data was used.Item Про біжучі хвилі в системах типу Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці(2020) Бак, Сергій Миколайович; Bak, SergiyРозглядається система типу Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці. Передбачається, що кожна частинка нелінійно взаємодіє з чотирма своїми найближчими сусідами. За допомогою варіаційного підходу одержано умови існування періодичних і відокремлених біжучих хвиль.Item Гетероклінічні біжучі хвилі в дискретному рівнянні синус-Ґордон з нелінійною взаємодією на двовимірній ґратці(2018) Бак, Сергій Миколайович; Bak, SergiyРозглядається дискретне рівняння синус-Ґордон, яка описує дина- міку нескінченної системи нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів, розміщених на цілочисловій двовимірній ґратці. Передбачається, що ко- жний осцилятор нелінійно взаємодіє з чотирма своїми найближчими су- сідами. Одержано умови існування гетероклінічних біжучих хвиль.Item Біжучі хвилі в моделі нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів на двовимірній ґратці(2016) Бак, Сергій Миколайович; Bak, SergiyРозглядається модель, яка описує динаміку нескінченної системи нелінійно зв’язаних нелінійних осциляторів, розміщених на цілочисловій двовимірній ґратці. Передбачається, що кожний осцилятор нелінійно взаємодіє з чотирма своїми найближчими сусідами. Одержано умови існування біжучих хвиль.Item Існування стоячих хвиль з періодичною амплітудою в рівнянні типу Шредінгера(2009) Бак, Сергій Миколайович; Bak, Sergiy; Дьогтєва, ОленаУ даній статті отримано умови існування стоячих хвиль з періодичною амплітудою для дискретного нелінійного рівняння типу Шредінгера із насичуваною нелінійністю. Для отримання умов існування таких розв’язків реалізовано варіаційний підхід із використанням многовиду Нехарі. In this paper we obtained results on existence of standing waves with periodic amplitude in Discrete Nonlinear equation of Shrodinger type with saturable nonlinearity. Calculus of variations and Nehari manifold are employed to establish the existence of these solutions.Item Умови існування біжучих хвиль в системі осциляторів, розміщених на двовимірній решітці(2010) Бак, Сергій Миколайович; Bak, Sergiy Mykolaiovych; Домбровська, ДаріяВ даній статті за допомогою методу критичних точок досліджено питання існування періодичних i відокремлених біжучих хвиль для нескiнченної системи лiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциляторiв, розміщених на цiлочисловiй двовимірній решітці.Item Про біжучі хвилі в системах типу Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці(2020) Бак, Сергій Миколайович; Bak, Sergiy MykolaiovychЗа допомогою варіаційного підходу одержано умови існування періодичних і відокремлених біжучих хвиль для системи Фермі-Пасти-Улама на двовимірній ґратці. Using the variational approach, conditions for the existence of periodic and solitary traveling waves for the Fermi-Pasta-Ulam system on a two-dimensional lattice are obtained.